Para entrar em campos científicos como um profissional, é necessário muito mais um doutorado nos dias de hoje. Isso pode ser em astronomia ou sua especialidade escolhida (veja abaixo), mas muitos também são em física; o nome do assunto pode depender da instituição que você frequenta para obter o doutorado.
Perceba que o que você e o público em geral consideram "Astronomia" provavelmente não é o mesmo que o profissional científico mundo chama de "Astronomia". Um "Astrônomo" estuda estrelas e agrupamentos de estrelas. Alguém que estuda nosso Sol é geralmente chamado de "Físico Solar" ou algo semelhante. Alguém que estuda outros planetas é um "Cientista Planetário"; ele pode ser subdividido em "Cientista Atmosférico" (que pode ser dividido em "Químico Atmosférico", "Dinâmico Atmosférico" etc.) e "Geólogo Planetário" e assim por diante. Um cientista que estuda as origens do universo é um "cosmólogo". Se você tem uma área específica na qual está interessado, pesquise aqui para descobrir o que você precisa aprender para entrar nessa área.
Independentemente do curso que você cursar, você precisará de muito matemática e ciências . Durante sua graduação, eu recomendaria os seguintes mínimos: 3 semestres de Cálculo, 1 semestre de Equações Diferenciais Ordinárias, 1 semestre de Álgebra Linear (algumas escolas combinam ODE e LA), 3 semestres de Física Introdutória. Eu recomendaria um semestre ou dois de introdução à astronomia, embora algumas escolas não considerem isso como absolutamente necessário, surpreendentemente. Outros cursos de graduação úteis dependerão do que você acha que vai querer se especializar, mas incluiriam mais física, mais astronomia, química, geologia, meteorologia, etc.
Se você ainda não está na faculdade, faça todos os cursos de matemática e ciências físicas que puder no colégio ... a menos que esteja interessado em se tornar um astrobiólogo (alguém que estuda organismos vivos em outros planetas - um campo especulativo neste ponto, mas existe), caso em que você também deve fazer alguns cursos de biologia!
Aprender programação de computadores também seria bom, já que esses campos geralmente requerem programação para processamento de dados e simulações. Entre as linguagens de uso geral, a linguagem de programação Python pode ser a mais popular em ambientes científicos. Outros usados incluem IDL e MatLab. Os computadores Linux e Mac são usados mais no mundo da ciência do que na população em geral.
Conforme observado na resposta de Jeremy e seus comentários, as perspectivas de emprego não são boas para astrônomos e áreas relacionadas. Dito isso, não quero desencorajá-lo, apenas prepará-lo para a realidade.
Claro, como outra resposta observou, se você quer apenas observar os céus, nenhum diploma é necessário, apenas tempo e paciência.